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入試対策として数学の空間図形を解くコツを2回に渡って話しました。特に前回の「実戦公式」の反応は予想以上で嬉しかったんですが、こんなメールも届いたんです。

「空間図形の問題が苦手で飛ばしていました。駿英さんのブログで空間図形のコツを教えてくれたので、断面図と実戦公式を勉強しました。しかし実力テストの大問7は解けません。どうやって解いたらいいんですか?教えてください!」

きっと同じような感想の生徒も多いかと…。そこで違う話題に移ろうと予定していたんですが、無視するわけにはいきません^^;

2018年1月に県内中学校で実施した「入試予想問題第一回」数学の大問7(通称ラスボス問題)を前回伝授した「実戦公式」を使って解いてみますね。

「実力テスト」の大問7を実戦公式を使って解いてみる

さっそく1月に実施した実力テスト「入試予想問題第一回(数学)」大問7を実戦公式を使って解いてみます。

問題をファイリングしている生徒は自分の問題・解答を準備下さい。この大問7の配点は全部で6点でした。何点得点できたかもう一度確認です。

ちなみにこの大問7の「空間図形の問題」は進学校を目指す生徒は1問、難関進学校を目指す生徒は2問正解が必須といったところです。

「入試予想問題第一回(数学)」ラスト問題

【大問7】

下の図のような∠ABC=90°の直角三角形を底面とし、高さ6㎝の三角すいがある。辺AC、OBの中点をそれぞれM、Nとする。また辺OA上に点Pをとる。
次の(1)~(3)の問題に答えなさい。

(1)線分AMの長さを求めなさい

(2)OP:PA=1:4のとき四角形ABNPの面積を求めなさい。

(3)点Pが辺OAの中点のとき、4点O、C、P、Nを結んでできる三角すいの体積を求めなさい。

こんな問題でしたね。(1)は簡単ですので省略します。
(2)(3)を実戦公式を使って解いていきますね。

問題7(2)OP:PA=1:4のとき四角形ABNPの面積を求めなさい。

まず空間図形対策~その1「立体図形は平面で考えよ」を実戦し作図します。するとこんな直角三角形OABの問題だということが分かります。

はい、「超実戦公式1」の出番です。
手順通りに進めます。前回の記事をみて下さい。この問題では△OABと△OPNの面積比をあっという間に出しちゃいますね。

手順1「辺の比を書き出す」
え~とここでは⇒「OP:OA=1:5 ON:OB=1:2
※OAの比はOPの1とPAの4をたして下さいね~

手順2「手順①で出した比の値をかける」
△OPN⇒1×1=1
△OAB⇒5×2=10

手順3 「手順②で出した値が面積比になる」
△OPN:△OAB=1:10
つまり△OPNは△OABの10分の1

あとはリアルな△OABの面積を出してあっという間に解答ですね。
△OABの面積は30平方センチメートル。
△OPNは10分の1だから3平方センチメートル。
もう書かなくても分かりますね。
四角形ABNPは30-3=27㎠!

ではラスボスにいきますか。

問題7(3)点Pが辺OAの中点のとき、4点O、C、P、Nを結んでできる三角すいの体積を求めなさい。

これは三角すいの体積問題。ピンときましたか!
∠Oが共通している三角すいの体積問題ですのでズバリあれが使えます!「超実戦公式2」の出番です。

手順通りやってみます。

手順1 「辺の比を書き出す」
ここでは「OP:OA ON:OB OC:OCの辺の比を書き出します
⇒ OP:OA=1:2、ON:OB=1:2、※OC:OC=1:1
※共通しているときは1:1にしておきましょう

手順2 「手順①で出した比の値をかける」
三角すいO-ABCならOA×OB×OC 三角すいO-PNCならOP×ON×OC

●三角すいO-ABC⇒2×2×1
●三角すいO-PNC⇒1×1×1

手順3 「手順②で出した値が体積比となる」

つまり体積比は
三角すいO-ABC:三角すいO-PNC=4:1
まあ、4分の1の体積なんですね。

ここからは(2)と同様にリアルな値で計算しおしまい。

三角すいO-ABCの体積は6×8÷2×6÷3=48
つまり48立方センチメートルで

三角すいO-PNCはその4分の1だから
48÷4=12

答えは12立法センチメートルでした!
実戦公式を用いれば短時間で解答可能な問題でした。

空間図形の問題で辺の比が分かり、面積や三角すいの体積を出す場合は実戦公式が使えるかチェックして下さい。応用すれば四角すいや立方体でも利用できますよ~

ちなみに、中3新教研テスト1月号の7の問題も実戦公式使えました。間違えた生徒はやってみて下さい。

では今回はここまでです。

■■ 雑記 ■■

空間図形の実戦公式は予想以上に反応があり嬉しい限り。いろいろなメールもいただきました。

受験生に役立つ記事を書いていきますので、要望や感想がありましたらこちらのフォームにて送って下さい。相談でもいいですよ。
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お知らせです。恒例の合否メールサービス開始しますね。詳細は次回書きますね。
by 渡部

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この記事を書いた人

渡部
渡部 運営責任者

駿英家庭教師学院の運営責任者。体力の衰えは感じるものの指導の経験値は益々上がっています^^; このブログではその培った経験をお裾分けします。  

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