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新年早々、生徒から質問メールがありました。
中2と中3の生徒からだったんですが2人とも

空間図形の問題が苦手です。どうやったら解けるようになりますか?

といった内容でした。空間図形の問題を苦手としている生徒は非常に多いですね。

県立入試でも新教研でも実力テストでも空間図形の問題はラスト問題として出題されます。
まさにラスボスといった感じです。

そんな難敵の「空間図形」ですが解法のコツがあります。
では、空間図形の応用問題対策を2回に分けてアドバイスしていきますね。

立体図形の問題は平面で考える!

空間図形の問題の難しさは立体のイメージが湧かないことにあります。平面なら複雑な問題でも作図も簡単だし容易にイメージすることも出来ます。

しかし立体図形になるとイメージ出来ず「全然分からない!」と最初から諦めてしまう生徒も…

ここで一つ問題を出してみますね。
(問題)下の図のPMの長さを求めて下さい(P、MはOAとOBの中点)。

答えは6cmです。メチャ簡単ですよね。

こんな簡単な問題ですが、今月の【中3】1月号新教研のラスボス問題大問7の(1)だったんです。こんな空間図形からの出題でした。
※(1)はPが中点のときのPMの長さを求める問題

最初から難しいと考え飛ばしてしまった生徒は後悔ですよね。確かに難解な問題もありますが、空間図形の(1)(2)は立体図形を平面図形に変換してから取りかかりましょう。正解率も上がるはずです。
※新教研1月号の大問7(2)は変換すれば相似の問題でした。

空間図形「解法のコツ」その1 ⇒立体図形の多くの問題は平面図形の問題に変換出来る!

「立体図形応用問題」の解法の技術的なコツについて書きましたが、立体図形の問題は慣れるのが一番です。学校で空間図形を教わるのは中一。しかも中一で教わる空間図形は基本が中心。入試問題に出てくるような「立体図形の応用問題」は勉強していないんです

だから、まずは慣れること!苦手な生徒はそこから始めて下さい^^ 立体図形に慣れるため、やって欲しいトレーニングが断面図のイメトレです。では空間図形イメトレ法を紹介しますね。

立方体の断面図で3D(立体)脳を鍛えよう!

私は中学時代、数学は好きな教科だったんですが、空間図形が大嫌いでした。立方体の断面がどんな図形になるかという問題では的外れな解答をし大笑いされたものです。

あなたの3D脳のチェック問題を出してみます。制限時間は1分。あなたは出来るかな?

(問題)「次の立方体を3点を通るように切るとどんな断面になりますか?」

分かりましたか?答えは五角形です。

出来なくても構いません。切り口のコツを掴んで反復練習すればいいのです。確かに複雑な立体図形をあっという間に脳内で描ける人もいます。私はそんな人を「3D脳」の持ち主と呼んでいますが、そんな人は少数なんです。まずはコツを叩き込みましょう。

立方体の切断面の法則を知る

切断面の切り口には次の3つの法則があります。

①同じ面にある2点は結ぶ
②向かい合った面は平行な切り口になる
③斜めに切断したときは立方体の辺も伸ばし大きな三角錐をつくる

この3つの法則を駆使すればどんな切り口も分かるのですが、文章だけでは分かりにくいですよね^^; 直接指導すれば簡単に理解出来るんですがそうする訳にもいきません。

そんなときはYouTubeに頼りましょう^^ 
お薦めの切断面解説動画を2本紹介します。切断面が苦手な生徒は必ず見ておきましょう。


お役立ち動画⇒立方体の切断1(上野理数研究会)
※3つの法則を分かりやすく解説。非常に明快です。


お役立ち動画⇒立方体の切断面
※6個の問題を解きながら解説。凄く分かりやすいです。真似させてもらいます(笑)


以上2つの動画を紹介しました。他にもありますので勉強に疲れたときにでも探してみて下さい。

最後に「切断面3つの法則」を覚えたところで確認テストです。
全部で12問の切り口問題があります。

全問出来ればあなたも「3D脳」の持ち主です^^ ではチャレンジ!

立方体の切り口問題12問

解答

いかがでしたか?自分は「3D脳」の持ち主でしたか?(笑)
次回は空間図形の応用問題を解く際に使える裏テクを伝授します。
これを使えば1月号の新教研テスト大問7(3)は簡単に解けましたよ^^
お楽しみに♪


【福島県立高校入試スケジュール】
・Ⅰ期出願期間 1月18~23日
・Ⅰ期選抜試験 2月1~2日
・合格内定発表 2月6日

・Ⅱ期出願期間 2月14~19日
・Ⅱ期出願先変更期間 2月20~22日
・Ⅱ期選抜試験 3月8~9日
・県立高校合格発表日 3月14日

■■ 雑記 ■■
前回、「成蹊前ラーメン吉祥寺」でラーメンを食べてくると宣言していたんですが、新宿で野暮用を済ませ直行するとお店は休憩時間(泣) 呆然としていると息子が「蒙古タンメンはどう?」と提案してきたので「いいね~」と行ってきました。

ここが「蒙古タンメン中本」吉祥寺店

キャベツと豆腐の絶妙なハーモニー♪ そして、けっこう辛かった^^;
もちろん美味しかったけど、セブンプレミアムのカップ麺は上手く味を再現してあるなぁと感心感心。

そう言えば新宿の裏道を歩いていると、いきなり「平野ノラ」に遭遇。おったまげ~(笑)

by 渡部

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この記事を書いた人

渡部
渡部 運営責任者

駿英家庭教師学院の運営責任者。体力の衰えは感じるものの指導の経験値は益々上がっています^^; このブログではその培った経験をお裾分けします。  

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