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今回は前回に引き続き「空間図形」対策を行います。

前回、立体図形の問題は平面化するとアドバイスしました。そのためのトレーニングとして「立方体の切断面イメトレ」をやりました^^ 立体図には慣れてきたでしょうか?
まだやっていない生徒はクイズだと思って取り組んで下さい。楽しいものです^^;

さて、今回は「空間図形対策」第二弾になります。前回とはうって変わり超実践的!空間図形を解くために覚えておくと超便利な実戦公式を伝授。教科書には馴染みのない実戦的な公式もあります。役に立ちますので覚えて下さい!

空間図形を解くための4つの実戦公式!

福島県の入試や模試では「空間図形の応用問題」は最後の問題として三問出題されます。その中には面積や体積を問う問題が良く出題されますね。そんな時に役に立つ実戦的公式を4個紹介します。

特に後半の超実戦公式を知っていれば、実力テスト1月号(2018年)、新教研1月号の空間図形はあっさり解けました。間違えた生徒は身につけて下さい!

実戦公式①②&超実戦公式①②を覚えよう!

実戦公式①

「高さの等しい三角形:面積比=底辺比になる」

底辺の比が2:3 面積比も2:3

(ひと言)
これは教科書に載ってる基本中の基本。絶対に覚えること。

実戦公式②

「三角形の角の二等分線の公式 AB:AC=BD:DC」

二等分線の公式⇒AB:AC=4:12なのでBD:CD=1:3 

(ひと言)
角の二等分線が出てきたら使えるかチェック!

ここまでは教科書やワークでも練習している公式。必ず覚えましょう。
さて、ここからがキモの内容。名付けて「超実戦公式」!ホント使えます。

超実戦公式①

「角を共有する三角形の面積比の公式」
※下の図では∠Aが共通の △ABCと△ADEの面積比の公式になります。
分かりやすく問題形式で説明します。メチャ簡単です。

(問題)上の図の△ABCと△ADEの面積比を求めましょう!(この問題を超実戦公式を用いて解いていきます)

【超実戦公式①】
手順1ADとAB、AEとACの辺の比を書き出す
⇒AD:AB=2:3 AE:AC=1:2

手順2「手順1で出した比の値をかける。△ABCならAB×AC △ADEならAD×AE
●△ABC⇒3×2=6
●△ADE⇒2×1=2

手順3手順②で出した値が面積比となる」
⇒△ABCが6、△ADEが2だったので、面積比は6:2。つまり答えは3:1

(ひと言)
補助線を使っても解答出来ますが、ぜひ実戦公式を覚えて下さい。

超実戦公式②

「角を共有する「三角すい」の体積比の公式」
※下の図では∠Oが共通の三角すいO-ABCと三角すいO-DEFEの体積比の公式になります。
これも問題形式で解説します。覚えて下さい。

(問題)上の図の三角すいO-ABCと三角すいO-DEFEの体積比を求めましょう!
ヒント!超実践公式1の応用版です。同様に考えると出ますよ~

手順1ODとOA、OEとOB、OFとOCの辺の比を書き出す
⇒OD:OA=1:3、OE:OB=5:9、OF:OC=2:3

手順2「手順①で出した比の値をかける。三角すいO-ABCならOA×OB×OC 三角すいO-DEFならOD×OE×OF
●三角すいO-ABC ⇒ 3×9×3=81
●三角すいO-DEF ⇒ 1×5×2=10

手順3手順②で出した値が体積比となる」
⇒三角すいO-ABCが81、三角すいO-DEは10だったので
体積比は81:10

(コメント)ホント役に立つ公式です。三角すいの体積が出てきたときには使える可能性大です^^

実戦公式の確認問題

では超実戦公式を覚えたかどうかの確認です。二問ほど出題しますので公式を使って解いて下さい。

問題1 

①上の図のような辺の比の△ABCがあります。△ADEと四角形DBCEの面積比を求めて下さい。

②△ABCの面積が135c㎡のとき△ADEの面積を求めて下さい。

問題2 
「図のような三角すいがあります。三角すいO-ABCの体積が135cm3のとき三角すいO-DECの体積を求めて下さい」

⇒解答は下記の雑記をご覧下さい。

どうでしたか?覚えてしまえばメチャ簡単ですね。1月号実力テストのラスト問題を解けなかった生徒はこのもう一度チャレンジ下さい。超実戦公式を使えば簡単に解けますよ~

2回に渡り空間図形対策を行ってきました。需要があればもう一回空間図形対策をやりたいと思っています。感想メールお待ちしています。

追伸
最近、問題対策ばかりでしたので次回は内容を変えていきますね。


【福島県立高校入試スケジュール】
・Ⅰ期出願期間 1月18~23日
・Ⅰ期選抜試験 2月1~2日
・合格内定発表 2月6日

・Ⅱ期出願期間 2月14~19日
・Ⅱ期出願先変更期間 2月20~22日
・Ⅱ期選抜試験 3月8~9日
・県立高校合格発表日 3月14日

■■ 雑記 ■■
模試のラスボス問題こと「空間図形の応用」を練習させたいと思い、良い問題がないかとネットで探しました。良問がたくさんあったので、「どこの入試問題だろ?」と見てみると「算数問題」という文字が…。良くみると中学受験の問題。ラスボス問題を小学生が解いているとは^^; 中学受験恐るべしです。

PS
解答はこちらです(どうしても分からないときはメール下さい)

by 渡部

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この記事を書いた人

渡部
渡部 運営責任者

駿英家庭教師学院の運営責任者。体力の衰えは感じるものの指導の経験値は益々上がっています^^; このブログではその培った経験をお裾分けします。  

コメント一覧

  1. 現中3です。
    空間図形の問題があまり得意でなかったのですが、これを見て発展問題も解けそうな気がしてきました。早速やってみます。
    ありがとうございます!

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コメント

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