【令和4年】入試直前｢数学｣仕上げの8問！

問題1
　あるコーヒー店では、100gずつ袋に入れてコーヒー豆を売っており、コーヒー豆Aは100gで700円、コーヒー豆Bは100gで600円、コーヒー豆Cは100gで500円である。明君は毎月4袋（400g）ずつ、この店でコーヒー豆を買う。1月から6月までの6ヶ月間にコーヒー豆Bは800g買っており、支払った代金の合計は14800円であった。

この6ヶ月間に買ったコーヒー豆Aとコーヒー豆Cはそれぞれ何ｇか。求める過程も書きなさい。

問題2
　図のような高さが20cmと45cmの2つの円柱A、Bがある。円柱2つの体積は等しく、円柱Bの底面の半径は円柱Aの底面の半径より5cm短い。この円柱の体積を求めなさい。

問題3
（福島県平成27年から）
　下の図のような、円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCがあり、AB＞ACである。
辺AB上にDB＝DCとなる点Dをとり、直線CDと円との交点のうち、Cと異なる点をEとする。このとき、AB=ECとなることを証明しなさい。

問題4
（福島県平成26年から）

　下の図のように、△ABCの辺BCの延長上に∠ADC＝∠ABCとなる点Dをとる。また、３点A,C,Dを通る円OとCを通り辺ABに平行な直線との交点をEとする。このとき、AE=BCとなることを証明しなさい。

問題5
　下の図のように、2直線l,mと放物線Cがあり、直線mの式はy=5x+6、放物線Cの式は\(y=x^2\)である。直線lと放物線Cの交点はP(2，4）、l、m、 Cの交点をQ、mとy軸との交点をRとするとき次の(1)、(2)の問いに答えなさい。ただし、Qのx座標は0未満とする。

（1）直線lの式を求めなさい。

（2）Pを出発点として、線分PR、RQ上をP→R→Qの順にPからQまで移動する点をA、Aを通りy軸に平行な直線と放物線Cとの交点をBとする。

①Aのx座標が1のとき、△ABPの面積を求めなさい。

②AB＝5となる点Aのx座標をすべて求めなさい。

問題6
　下の図のように、 関数\(y=ax^2\)のグラフと関数\(y= \frac{1}{8}x^2\)のグラフがある。関数\(y= \frac{1}{8}x^2\)のグラフ上にx座標が－４である点Ａをとり、 関数\(y=ax^2\)のグラフ上にx座標が６である点Ｂをとる。
２点Ａ、 Ｂを通る直線をℓとすると、ℓの式はy=x+6である。また、Ｂを通り、y軸に平行な直線と関数\(y= \frac{1}{8}x^2\)のグラフとの交点をＣとする。
このとき、次の（1）～（3）の問いに答えなさい。

（1） aの値を求めなさい。

（2） △ＡＯＣの面積を求めなさい。

（3） y軸上に△ＡＯＢの面積と△ＤＯＢの面積が等しくなる点Ｄをとる。
また、線分ＡＤ、ＤＢ上を動く点Ｐ、線分ＡＯ、ＯＣ上を動く点Ｑを、線分ＰＱがy軸と平行となるようにとる。
ＰＱ＝８となるＰのx座標をすべて求めなさい。ただし、Ｄのy座標は正とする。

問題7
　下の図のような、ＡＢ＝4cm、ＡＤ＝6cmの長方形ＡＢＣＤを底面とし、高さが4cmの直方体がある。
辺ＢＦの中点をＩとし、対角線ＤＦ上にＤＪ：ＪＦ＝3：1となるように点Ｊをとる。線分ＩＪの延長と線分ＦＨとの交点をＫとする。このとき、次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）対角線ＤＦの長さを求めなさい。

（２）線分ＦＫと線分ＦＨの長さの比を
求めなさい。

（３）４点Ｃ，Ｄ，Ｉ，Ｊを結んでできる
三角錐の体積を求めなさい。

問題８
　下の図のような、ＡＣ＝ＡＢ＝４cm、∠ＢＡＣ＝90°の直角二等辺三角形ＡＢＣを底面とし、高さが８cmの三角柱がある。辺ＢＥ上に点Ｐをとり、線分ＣＥと線分ＦＰとの交点をＱとする。
このとき、次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）辺ＢＣの長さを求めなさい。

（２）ＢＰ：ＰＥ＝２：１のとき、
四角錐ＱＡＤＦＣの体積を求めなさい。

（３）点Ｐから線分ＡＦにひいた垂線とＡＦ
との交点をＨとする。ＢＰ＝５cmのとき、
線分ＰＨの長さを求めなさい。